Каждый символ ТТЧ соотнесен с трехзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 6 таким образом, чтобы его было легче запомнить. Каждое такое трехзначное число я буду называть Геделев кодоном, или, для краткости,кодоном. Заметьте, что для b. с, d или е кодонов не дано, поскольку мы используем здесь строгую версию ТТЧ. Для этого есть причина, которую вы узнаете в главе XVI. Последняя строчка, «пунктуация», будет объяснена в главе XIV.

Теперь мы можем представить любую строчку или правило ТТЧ в новом наряде. Вот, например, Аксиома 1 в двух нотациях, новая над старой:

626, 262, 636, 223, 123, 262, 111, 666

. A a : ~ S a = 0

Обычная условность — использование пунктуации после каждых трех цифр— очень кстати совпала с нашими кодонами, облегчая их чтение.

Вот Правило Отделения в новой записи:

ПРАВИЛО: Если x и 212x633y213 являются теоремами, то у - также теорема.

Наконец, вот целая деривация, взятая из предыдущей главы; она дана в строгой версии ТТЧ и записана в новой нотации:

626,262,636,626.262,163,636,362,262,112,123,262,163,323,111,123,362,262,112,262,163,323 аксиома 3

. A a : A a ' : (a + S a ' )= S ( a + a' )

626,262,163,636,362,123,666,112,123,262,163,323,111,123,362,123,666,112,262,163,323 спецификация

. A a ' : (S 0+ S a ' )= S ( S 0 + a ' )

362,123,666,112,123,666,323,111,123,362,123,666,112,666,323 спецификация

. ( S 0 +S 0 )=S ( S 0 +0)

626,262,636,362,262,112,666,323.111.262 аксиома 2

. A а : (а + 0 )= а

362,123,666,112,666,323,111,123,666 спецификация

. ( S 0 + 0 ) = S 0

123,362,123,666.112,666,323,111,123,123,666 добавить «123»

. S ( S 0 +0 ) = S S 0

362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666 транзитивность

. ( S 0 + S 0 )= S S 0

Обратите внимание, что я изменил название правила «добавить S» на «добавить 123», поскольку данное правило узаконивает именно эту типографскую операцию.

Новая нотация кажется весьма странной. Вы теряете всякое ощущение значения; однако, если потренироваться, вы сможете читать строчки в этой нотации так же легко, как вы читали строчки ТТЧ. Вы сможете отличать правильно сформированные формулы от неправильных с первого взгляда. Естественно, поскольку это настолько наглядно, вы будете думать об этом, как о типографской операции— но в то же время выбор правильно сформированныформулв этой нотации эквивалентен выбору определенного класса чисел, у которых есть также арифметическое определение.

А как же насчет «арифметизации» всех правил вывода? Они все еще остаются типографскими. Но погодите минутку! Согласно Центральному Предложению, типографское правило— все равно, что арифметическое правило. Ввод и перестановка цифр в числах десятичной записи— это арифметическая операция, которая может быть осуществлена типографским путем. Подобно тому, как добавление «О» справа от числа эквивалентно умножению этого числа на 10, каждое правило представляет собой компактное описание длинного и сложного арифметического действия. Таким образом, нам не придется искать эквивалентных арифметических правил, поскольку все правила уже арифметические!

Числа ТТЧ: рекурсивно счетное множество чисел

С такой точки зрения, приведенная выше деривация теоремы «362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666» представляет собой последовательность весьма сложных теоретико-численных трансформаций, каждая из которых действует на одно или более данных чисел. Результатом этих трансформаций является, как и ранее, выводимое число, или, более точно, число ТТЧ. Некоторые арифметические правила берут старое число ТТЧ и увеличивают его определенным образом, чтобы получить новое число ТТЧ, некоторые уменьшают старое число ТТЧ; другие правила берут два числа ТТЧ, воздействуют на них определенным образом и комбинируют результаты, получая новое число ТТЧ — и так далее, и тому подобное. Вместо того, чтобы начинать с одного известного числа ТТЧ, мы начинаем с пяти— одно для каждой аксиомы (в строгой нотации). На самом деле, арифметизированная ТТЧ очень похожа на арифметизированную систему MIU — только в ней больше аксиом и правил, и запись точных арифметических эквивалентов была бы титаническим и совершенно «непросветляющим» трудом. Если вы внимательно следили за тем, как это было сделано для системы MIU, у вас должно быть сомнений в том, что здесь это делается совершенно аналогично.

Эта «гёделизация» ТТЧ порождает новый теоретико-числовой предикат:

а — число ТТЧ.

Например, мы знаем из предыдущей деривации, что 362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666 является числом ТТЧ, в то время как число 123,666,111,666 числом ТТЧ предположительно не является.

Оказывается, что этот новый теоретико-численный предикат можно выразить некоей строчкой ТТЧ с одной свободной переменной— скажем, а. Мы могли бы поставить тильду впереди, и эта строчка выражала бы дополняющее понятие:

а — не число ТТЧ.

Теперь давайте заменим все а в этой второй строчке на символ числа ТТЧ для 123,666,111,666 — символ, содержащий ровно 123,666,111,666 S и слишком длинный, чтобы его здесь записывать. У нас получится строчка ТТЧ, которая, подобно МУМОНу, может быть интерпретирована на двух уровнях. Во-первых, она будет означать

123,666,111,666 — не число ТТЧ.

Но, благодаря изоморфизму, связывающему числа, ТТЧ с теоремами ТТЧ, у этой строчки есть и второе значение:

S0=0 не теорема ТТЧ.

ТТЧ пытается проглотить саму себя

Это неожиданно двусмысленное толкование показывает, что ТТЧ содержит строчки, говорящие о других строчках ТТЧ. Иными словами, метаязык, на котором мы можем говорить о ТТЧ, берет начало, хотя бы частично, внутри самой ТТЧ. И это не случайность; дело в том, что архитектура любой формальной системы может быть отражена в Ч (теории чисел). Это такая же неизбежная черта ТТЧ, как колебания, вызываемые в патефоне, проигрываемой на нем пластинкой. Кажется, что колебания должны вызываться внешними причинами, — например, прыжками детей или ударами мяча; но побочный — и неизбежный — эффект произведения звуков заключается в том, что они заставляют колебаться сам механизм, их порождающий. Это не случайность, а закономерный и неизбежный побочный эффект. Он свойствен самой природе патефонов. И так же самой природе любой формализации теории чисел свойственно то, что ее метаязык содержится в ней самой.

Мы можем почтить это наблюдение, назвав его Центральной Догмой Математической Логики и изобразив его на двухступенчатой диаграмме.

ТТЧ ==> Ч ==> мета-ТТЧ

Иными словами, у строчки ТТЧ есть интерпретация в Ч, а у высказывания Ч может быть второе значение — оно может быть понято как высказывание о ТТЧ.

G: строчка, говорящая о себе самой на коде

Эти интересные факты — только половина истории. Другая половина — интенсификация автореференции. Мы сейчас находимся в положении Черепахи, когда она обнаружила, что можно создать пластинку, разбивающую проигрывающий ее патефон. Вопрос только в том, какую именно запись надо ставить на данный патефон. Выяснить это непросто.

Для этого нужно найти строчку ТТЧ — мы будем называть ее «G» — которая говорит о себе самой, в том смысле, что — одно из ее пассивных значений — это высказывание о G.

В частности, этим пассивным значением окажется

«G- не теорема ТТЧ»

Я должен добавить, что у G есть и другое пассивное значение, являющееся высказыванием теории чисел; подобно тому, как МУМОН мог быть интерпретирован двояко. Важно то, что каждое пассивное значение — действительно и полезно, и никоим образом не бросает тень сомнения на второе значение. (Тот факт, что играющий патефон может вызывать колебания в самом себе и в пластинке, не отрицает того, что эти колебания — музыкальные звуки!)

В неполноте ТТЧ виновато существование G

Об изобретательном методе создания G и о некоторых важных понятиях ТТЧ мы поговорим в главах XIII и XIV; пока же давайте заглянем вперед и постараемся увидеть, какие последствия будет иметь нахождение автореферентной часта ТТЧ. Кто знает — может быть, это будет подобно взрыву! В некотором роде, это так и есть. Как вы думаете,

Является ли G теоремой ТТЧ, или нет?

Постарайтесь сформировать собственное мнение по этому поводу, не опираясь на мнение G о себе самой. В конце концов, G может понимать себя не лучше, чем понимает себя какой-нибудь мастер дзен-буддизма. Подобно МУМОНу, G может быть ложным утверждением. Подобно MU, G может быть не-теоремой. Мы не обязаны верить в любую возможную строчку ТТЧ, а только в ее теоремы. Давайте используем наше умение рассуждать логически и постараемся разъяснить этот вопрос.

Предположим, как обычно, что ТТЧ включает правильные методы рассуждения и что, следовательно, ложные утверждения не могут являться ее теоремами. Иными словами, любая теорема ТТЧ выражает истину. Таким образом, если бы строчка G была теоремой, она выражала бы истину, а именно: «G — не теорема.» Вся сила ее автореферентности видна здесь в действии. Будучи теоремой, G должна быть ложна. Опираясь на наше предположение, что ТТЧ не имеет ложных теорем, мы должны теперь заключить, что G —не теорема. Это не так страшно, но оставляет нас с меньшей проблемой. Зная, что G — не теорема, мы должны согласиться с тем, что она выражает истину… В этой ситуации ТТЧ не оправдывает наших ожиданий — мы нашли строчку, выражающую истинное высказывание, которая в то же время не является теоремой! И, как бы мы не удивлялись, мы не должны упускать из виду тот факт, что у G есть также и арифметическая интерпретация. Это позволяет нам подвести итог нашим наблюдениям:

Найдена такая строчка ТТЧ, которая является недвусмысленным высказыванием о некоторых арифметических свойствах натуральных чисел; более того, рассуждая вне системы, мы можем определить не только то, что это высказывание истинно, но и то, что эта строчка не является теоремой ТТЧ. Таким образом, если мы спросим у ТТЧ, истинно ли это высказывание, она не сможет ответить ни да, ни нет.

Аналогична ли G Черепашья цепочка в «Приношении MU»? Не совсем. Аналогичней с Черепашьей цепочкой будет ~G. Почему это так? Давайте подумаем! Что говорит ~G? Она должна утверждать обратное строчке G. G говорит: «G — не теорема ТТЧ»; следовательно, ~G должно читаться «G — теорема ТТЧ». Мы можем перефразировать обе эти строчки следующим образом:

G: «Я не теорема (ТТЧ)»

~G: «Мое отрицание— теорема (ТТЧ)»

Именно ~G параллельна Черепашьей цепочке, так как она говорит не о себе самой, но о той цепочке, что Черепаха дала Ахиллу сначала— цепочке, на которой была завязана дополнительная неточка (или на одну неточку меньше, чем надо— это зависит от точки зрения).

Последнее слово— за Мумоном

В своем коротком стихотворении о MU Джошу, Мумон проник в Мистерию Ультранеразрешимости глубже всех:

Есть ли у собаки природа Будды?

Это самый серьезный вопрос из всех.

Если вы ответите да или нет,

Вы утратите собственную природу Будды

• И как это приложить к тому что было с нашими опытами

• Давай будем исходить от невозможного.. если невозможно создать формальную систему которая была непротиворечивая и полная или наоборот.. то становится невозможно создать особый компьютер позволяющий ставить штамп на все вещи что это красиво или уродливо или например что есть свобода или рабство.

• Отсюда становится видно что написано в семи проповедях к мертвым. Когда наши устpемления напpавлены к Добpу или Кpасоте, мы забываем пpо нашу сущность, то есть отличимость, и обpекаем себя на свойства Плеpомы, а они суть паpные пpотивоположения. Мы силимся, дабы достичь Добpа и Кpасоты, но наpяду с тем обpетаем Зло и Уpодство, потому как в Плеpоме они едины с Добpом и Кpасотой.

• Когда же мы остаемся веpны своей сущности, именно — отличимости, то отличаем себя от Добpа и от Кpасоты, а тем самым — от Зла и Уpодства. Мы тогда не низвеpгаемся в Плеpому, то есть в ничто и в pаствоpенность.

• Что есть отличимость … почему тут говорят об отличимости..

• я напоминаю об одно отрывке из теореммы Геделя

• ТТЧ пытается проглотить саму себя

• Это неожиданно двусмысленное толкование показывает, что ТТЧ содержит строчки, говорящие о других строчках ТТЧ. Иными словами, метаязык, на котором мы можем говорить о ТТЧ, берет начало, хотя бы частично, внутри самой ТТЧ. Найдена такая строчка ТТЧ, которая является недвусмысленным высказыванием о некоторых арифметических свойствах натуральных чисел; более того, рассуждая вне системы, мы можем определить не только то, что это высказывание истинно, но и то, что эта строчка не является теоремой ТТЧ. Таким образом, если мы спросим у ТТЧ, истинно ли это высказывание, она не сможет ответить ни да, ни нет.

• А понимаю возьмем формальную систему она создает предположим очень красивые узоры.. или имеет возможность поставить штамп на той или иной литературе что это порнография.

• Это означает что в самом алгоритме будут другие формальные системы... что они будут означать эти формальные системы..

• Собственно говоря все философы этим и занимаются...возьмём рассуждение о гуманитарных понятиях свобода.. Они разлагают это понятие на другие понятия.. это они делают до бесконечности..

• есть ещё один интересный способ вывода теоремы Геделя

• терминах функций её очень просто доказать от противного.

Допустим, у нас уже есть решение — функция F, которая принимает на вход некую функцию (вернее строку с текстом функции, байт-кодом или иной записью функции) и некие данные и отвечает на вопрос: «остановится ли функция-первый-аргумент, при работе с данными-вторым-аргументом, или будет работать вечно?»

Давайте создадим функцию P(x), такого вида (на C-образном языке):

Строку, которая кодирует эту функцию обозначим p. Что будет, если мы вызовем функцию F(p,p)? Возможны два исхода:

• True, если P останавливается. Но при этом P(p) как раз не останавливается, если F(p,p)=True, то запускается бесконечный цикл.